最近收聽「浩浩熵熵」第89集(2015-03-13),主持人提到懷海德和羅素在1910年合著三巨冊的《數學原理》(下稱「《數》」,懷、羅下稱「作者」)。主持人說《數》密麻麻的全是符號,艱澀難明。雖然《數》的概念在當時是革新的,書中證明也很繁複,但只要「解讀」到那些過時的符號,有基本邏輯和集合論的知識,要讀懂《數》並不太難。本文介紹《數》中的一個定理*110·643:「1+1=2」,大家不妨看看是否難懂。

或曰:1+1=2這麼簡單也要證明?須知習慣一個說法並不代表理解這個說法,我們平常很少會思考為什麼1+1=2。

 

《數》嚴格界定邏輯推導法則、集合論公理等,說明如何把數學化約為邏輯學,證明1+1=2共用了七百多頁(其中當然還有其他內容)。《數》定義數目為集合的集合。如1是所有「只有一個元素的集合」的集合。2是所有「只有兩個元素的集合」的集合。而二數之和,是指「兩個數目所有互斥的元素的聯集」組成的集合。

 

用一個例子說明。1這個集合中,有四個元素。每個元素都是集合,有一個元素:

[(凌操),(曹操),(劉禪),(貂蟬)]

 

2這個集合中,有六個元素,每個元素都是集合,有兩個元素:

[{凌操,曹操},{凌操,劉禪},{凌操,貂蟬},{曹操,劉禪},{曹操,貂蟬},{劉禪,貂蟬}]

 

兩個集合互斥就是沒有共同元素。例如{凌操}和{曹操}是互斥的。又例如{凌操,曹操}和{曹操,劉禪}不是互斥的,因為兩者有共同元素曹操。

 

α+β則如此構造:在α中取一元素a,在β中取一元素b,a和b也是集合。當且僅當a和b是互斥的,a和b的聯集就是α+β的元素。於是1+1就是{凌操}∪{曹操}、{凌操}∪{劉禪}、{凌操}∪{貂蟬}、{曹操}∪{劉禪}、{曹操}∪{貂蟬}和{劉禪}∪{貂蟬}六個聯集所組成的集合。這正好等於2。

 

由此可見,1+1=2。

 

Mignon McLaughlin說:「在愛情的算術當中,一加一等於全部,而二減一等於全無。」(”In the arithmetic of love, one plus one equals everything, and two minus one equals nothing.”)撇開愛情不論,這說法是錯的,根據*110•643,1+1應該等於2。

 

在證明之後,作者語帶幽默說「1+1=2」這命題「有時有用」。無法掌握證明不要緊,請大家千萬要記住1+1=2這「有時有用」的定理啊。

 

有關1+1=2的詳細證明以及引文出處,請參考以下網址:
https://goo.gl/SDJbrG

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馬敬東     數學     1+1=2

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